Доверительный интервал - это диапазон значений, который с определенной вероятностью содержит неизвестный параметр генеральной совокупности. Рассмотрим методы расчета доверительных интервалов для различных типов данных.
Содержание
Основные понятия
Ключевые термины
- Доверительная вероятность - вероятность (обычно 90%, 95% или 99%), что интервал содержит истинное значение параметра
- Стандартная ошибка - мера изменчивости выборочной статистики
- Критическое значение - величина из распределения, определяющая ширину интервала
Формулы для расчета
Для среднего значения (нормальное распределение)
| Формула | Описание |
| X̄ ± z*(σ/√n) | При известном σ (стандартном отклонении генеральной совокупности) |
| X̄ ± t*(s/√n) | При неизвестном σ (используется выборочное стандартное отклонение) |
Пошаговый алгоритм расчета
Определение параметров
- Выберите доверительный уровень (обычно 95%)
- Рассчитайте выборочное среднее (X̄)
- Определите стандартное отклонение (σ или s)
- Установите объем выборки (n)
Выбор распределения
| Условие | Используемое распределение |
| n > 30 или известно σ | Нормальное (z-распределение) |
| n ≤ 30 и неизвестно σ | t-распределение Стьюдента |
Расчет интервала
- Найдите критическое значение (z или t) для выбранного уровня доверия
- Вычислите стандартную ошибку: SE = σ/√n или s/√n
- Рассчитайте предельную ошибку: ME = критическое значение * SE
- Определите границы: X̄ ± ME
Пример расчета для пропорции
Формула
p̂ ± z*√(p̂(1-p̂)/n
Шаги вычисления
- Вычислите выборочную пропорцию p̂
- Определите z-значение для выбранного уровня доверия
- Рассчитайте стандартную ошибку пропорции
- Найдите предельную ошибку
- Определите границы интервала
Программные средства
Популярные инструменты
| Программа | Команда/функция |
| Excel | ДОВЕРИТ.НОРМ() или ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ() |
| R | t.test() или prop.test() |
| Python (SciPy) | scipy.stats.norm.interval() или t.interval() |
Интерпретация результатов
Как правильно описать
- Укажите уровень доверия (например, 95%)
- Приведите рассчитанные границы интервала
- Объясните значение: "Мы на 95% уверены, что истинное значение параметра находится между X и Y"
- Укажите метод расчета и предположения
Факторы, влияющие на ширину интервала
| Фактор | Влияние на ширину |
| Объем выборки (n) | Увеличение n уменьшает ширину |
| Доверительный уровень | Увеличение уровня увеличивает ширину |
| Изменчивость данных | Большая изменчивость увеличивает ширину |
