В геометрии параллелограмма существует важная зависимость между длинами его диагоналей и сторонами. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма связана с суммой квадратов всех его сторон.
Содержание
Основное свойство диагоналей параллелограмма
Для любого параллелограмма со сторонами a и b, и диагоналями d₁ и d₂ выполняется следующее равенство:
d₁² + d₂² = 2(a² + b²)
Вывод формулы
Это свойство можно вывести, используя теорему косинусов для треугольников, на которые диагонали делят параллелограмм. Рассматривая два треугольника, образованные диагональю, и применяя к ним теорему косинусов, после сложения уравнений получаем искомую формулу.
Пример расчета
| Стороны параллелограмма | Диагонали | Проверка формулы |
| a = 3, b = 4 | d₁ = 5, d₂ ≈ 5.66 | 5² + 5.66² ≈ 2(3² + 4²) → 25 + 32 ≈ 50 |
| a = 5, b = 5 | d₁ = 8, d₂ = 6 | 8² + 6² = 2(5² + 5²) → 64 + 36 = 100 |
Частные случаи
- Для прямоугольника (частный случай параллелограмма) сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов смежных сторон
- Для ромба (где все стороны равны) формула упрощается до d₁² + d₂² = 4a²
- Для квадрата (где d₁ = d₂) получаем 2d² = 4a² → d = a√2
Практическое применение
Это свойство используется при решении геометрических задач, в строительных расчетах и при проектировании механических конструкций, где требуется определить параметры параллелограммных механизмов.
